第564章 整数分拆
二十世纪初，印度作为英国最大也是最重视的殖民地，每年英国都会招收一批英国留学生。
比如剑桥大学每年约招收20名印度学生，在英国差不多有1000多个印度学生散于各个学院。
这些人大部分是高种姓，最起码也是吠舍（第三种姓）。
婆罗门在印度是最高的种姓，主要是神职人员，差不多占5%左右的人口。
第二种姓刹帝利最少，只有3%左右，这些人的生活条件才是真的优渥。
学生中还有相当一部分来自第三种姓吠舍，——甘地也是吠舍。
拉马努金虽然是婆罗门这个最高种姓，不过他家没多少钱，至少是没钱留学。
去年哈代收到拉马努金的信后，很希望把拉马努金搞到剑桥，于是给印度的官员写信，同时转达了拉马努金的信。
结果印度负责留学生事务的文官看后很不高兴，给哈代回信说：“最近的来信让我很吃惊，看来诸位在拉马努金赴英费用来源尚无确实把握前就鼓励拉马努金成行。我见过太过这样的情况，印度学生来到英国以后没有足够的钱，得到的只有失望与不幸。”
后来哈代都准备自己与李特尔伍德凑钱了，但他们两个搞纯数学也拿不出多少，至多每年50英镑，对于留学来说远远不够。好在拉马努金最后总算争取到了一个奖学金项目。
印度和中国还是不一样的，中国人太重视教育了，早在晚清时期就极力推动留学，而且相当一部分都是公费留学。
但印度是个无主权国家，自己能决定的事情太少，仰仗殖民者施舍。
剑桥里的印度学生很容易辨认，李谕甚至感受到了种姓制度对印度人巨大的制约。
在餐厅时，李谕多留意了一下，发现印度学生本来就不多，也基本不扎堆，或者说是扎小堆，——按照种姓聚集。
还要说明的是，其实每个种姓又细分了好多小种姓，简直把印度社会生生分裂了开。
同一个大种姓里，大家可以坐在一起吃饭，但跨越了种姓，基本上很少会这样。
对于李谕这种穿越者来说，非常难以理解，更何况自己还是来自中国，应该是唯一一个最纯粹干掉了所谓贵族阶层的国度。
以前有中国商人去印度做生意，午餐时，中国商人把印度司机叫上了餐桌，结果其他印度人都傻了。
那个司机感激涕零，说这是第一次和如此尊贵的人坐在一起吃饭。
因为在印度看来，外国人基本属于高种姓。
而真正的印度高种姓，甚至不屑于与低种姓共用自来水管。
李谕坐在了拉马努金对面，看到他吃的素食非常简单，面包、扁豆和一杯牛奶。
“这样吃会不会容易饥饿？”李谕问道。
拉马努金并没有回答李谕的问题，反而四处张望了一下，诧异道：“中国人也爱聊天？”
李谕被问得莫名其妙：“这有什么好疑惑的？”
拉马努金说：“来到国外后，我发现这里的人全都保持矜持或者冷漠，到了令人恼怒的地步，常常拒人于千里之外，我们每个印度学生都难以接受。”
“或许是文化不同导致，英国人要保持自己所谓的绅士风度。当然，不排除有一些是高高在上的民族偏见，”李谕说，然后问了一个心中疑惑已久的问题，“哈代先生说，你的公式都是梦中女神告诉你的，那是个怎样的女神？”
拉马努金说：“是我的信仰，娜玛吉利女神。”
李谕压根没听过这个女神的名字，对婆罗门教或者说印度教的理解，就是梵天、湿婆和毗湿奴这三位主神。
最多加一个传说中孙悟空的原型——印度猴神哈奴曼。（也不知道这个说法可不可靠，不少自媒体这么说过。毕竟大圣不缺流量。）
李谕问道：“这位娜玛吉利女神是？”
拉马努金说：“她是那罗希摩的配偶，那罗希摩也叫狮神，是毗湿奴的化身之一。”
总算提到一个自己听过的神。
李谕说：“感觉与中国的道教很像，都有好多神仙。”
拉马努金语出惊人：“对于我来说，所有的宗教或多或少都一样是真的，不管基督教还是佛教。”
李谕非常错愕，更加无法理解印度的宗教观。
拉马努金又问道：“院士先生也有信仰嘛？”
李谕摇摇头：“我是无神论者。”
拉马努金说：“太可惜了，如果你也有信仰，说不定会获得神的指示。”
李谕笑道：“可能我已经不需要了。”
拉马努金说：“娜玛吉利女神给予了我无穷帮助，本来按照教义，我不能离开印度，但女神托梦告诉我可以离开，所以我才登上了前往伦敦的轮船。”
李谕没敢多问，这时候印度人确实不能随便离开印度国土，除非有某种理由。
甘地就是因为离开印度，被开除了种姓。
但婆罗门本身就是神职人员，可以解释宗教，所以……
李谕笑道：“上天安排的最大，女神也要你来伦敦。”
拉马努金说：“但我的家人朋友并不同意，岳父就问过我，为什么不能在印度学数学。我和他解释了半天，他始终无法理解。我朋友也认为这是把本属于印度的光荣偷送给英国大学的一种卑鄙手腕。而我的母亲则担心我适应不了英国的天气，担心这边没有好的印度食品，还害怕英国人的歧视，甚至担心我被英国女孩子缠住，不再回国。”
李谕看过《生活大爆炸》，知道印度人的婚恋观非常传统，在硅谷混得风生水起的人，也得回国结婚，而且必须报上种姓，如果是低种姓，哪怕你在硅谷再牛，也得蹲着。
在拉马努金离开印度之前，有些英国妇女来见这位即将去剑桥的神秘天才，和他握了手，就使他的母亲大为生气。
李谕摊摊手：“既然来了，就先搞好你想做的呗。”
拉马努金说：“我就是这样想的，院士先生的事迹非常令我振奋。”
李谕笑道：“彼此彼此。”
拉马努金几口吃完了饭，说：“是的，我们去找哈代先生，今天要讨论一个关键的议题。”
李谕又问道：“真的只吃这么点？”
拉马努金说：“母亲的担心不无道理，英国的食材太缺少了。”
拉马努金对食物很挑剔。
和平年代还好，半年后一战爆发，英国物资供应出现短缺，面包都要限量供应，哪去找更多蔬菜。
拉马努金那时正好是科研攻坚期，吃饭很随意，休息更随意，这种状态最容易生病。
关键拉马努金在医院里也不听话，老抱怨这里疼那里痛，甚至有些任性，不相信医药。
许多伦敦的医生都说：“极少有医生愿意把拉马努金带到自己的医务所，没人能受得了他的脾气。”
总之是各种因素导致了他的生病。
后世要是秉承素食主义其实影响不大，但二十世纪初这种医学刚刚起步的时代，素食还是有些风险的。
拉马努金的早逝很可能就是免疫力下降，染上了肺结核。
之前提到过，全球三分之一的人口感染有肺结核，但人体的免疫力让90%的人不会发病，但一旦免疫力大幅下降，就有危险。
一些微量元素素食难以提供或者提供的数量很少，比如维生素D。或许就是它的缺少导致拉马努金感染上肺结核。
可惜维生素的作用还要几年后才能被慢慢证实。
另外，英国和印度的生活相比，至少还缺少一样东西——阳光。
阳光可以帮助人体合成维生素D。但英国的天气，能晒太阳的机会太少，加上他常年在屋中搞研究，日积月累，身体早晚垮掉。
路上时，拉马努金又好奇问道：“院士先生同样来自东方，离开了故土，你不会想念家乡吗？”
李谕说：“事实上，我经常回国。”
“太羡慕了！”拉马努金说，“才离开印度几个月，我已非常想念家乡。那里的街道上处处是牛车，彩绘的牛角上铃声叮当，男人裸着上身，包着围腰布，女人穿着莎丽，鼻环和手镯在黝黑的皮肤上闪亮。”
听拉马努金的叙述，他好像生活在乡村。
这位天才在英国的几年生活相当孤独，朋友极少，只能与数学为伴。
李谕说：“我能理解你的心情。”
两人走进哈代的办公室，他正在一张小黑板上写写画画，见拉马努金来了，于是说：
“我已经想好，如果你想让整个英国数学界知道你的名字，可以选择整数分拆这个课题。旁边办公室专门做组合数学的麦克马洪教授已经为此花了十几年，还没有摸出头绪，但你的公式却有完美的近似效果。我们花上一段时间，给出更专业的数学证明，他绝对会惊掉下巴。”
拉马努金说：“要是能发表论文，我一定配合先生的工作。”
哈代抽了口烟斗说：“我知道你有很多东西想发表，但我们必须一点点来，做出取舍。整数分拆这种难度极大的成果做出来后，我说不定还可以帮你申请到研究员的职位，那样我们的时间就更多了。”
拉马努金说：“我明白了，谢谢哈代教授。”
两人搞的整数分拆属于数论领域，非常好理解，小学生都可以看懂。
所谓整数分拆，就是把一个正整数表示成几种不同的加法组合。
比如数字3，有3，1+1+1，1+2三种组合方式。
数字4，有1+1+1+1，1+1+2，1+3，2+2，4，一共五种拆分方式。
然后假设有一个函数p（n），表示的就是某个数字n一共有多少种拆分方式。
显然，
P（3）
P（4）
拉马努金和哈代要搞的，就是找到这个整数分拆函数p（n）表达式。
听起来是不是感觉和费马大定理、哥德巴赫猜想一样简单好理解？
但想要得到函数P（n），就相当难了。
因为这个函数的发散速度非常恐怖，别看前几项很小，人畜无害，到了p（50），就达到了204226。
而p（100），大概是2亿！
明显的指数增长。
最早研究整数分拆的是数学真神欧拉，但他没能搞定。
拉马努金不知道咋就写出了一个p（n）近似公式，关键这玩意在n越大的时候，就越准，很难说是随便凑出来的。
李特尔伍德把一大堆材料放在桌子上：“这是麦克马洪教授的推算结果，我们可以慢慢进行验证。”
然后他又对拉马努金说：“我真的很想知道你是如何得到这个诡异结果的，但我知道你肯定会说是女神的指示，就像法国的圣女贞德说，‘我把自己锁在小阁楼里一天一夜，上帝告诉我，我要成为天国的将军，率领法国军队赶走英国人’。”
哈代道：“这就是神秘的东方力量。”
“确实太神秘了，”李特尔伍德说，“按照通常的数学逻辑，一旦我们事先知道结果，可以花费时间慢慢找到函数的正确形式。但关键是，拉马努金怎么知道一定会有一个正确形式？甚至给出了一个很不错的公式！如果以理论洞察力来解释，其能力之高实难相信！因为对于整数分拆函数来说，没有什么数值结果能向他暗示如此强有力的结论。我只能说是神来之笔。”
哈代哈哈大笑：“我已经放弃思考这个问题了！不如继续验证下去。”
整数分拆函数的发散非常快，而麦克马洪教授此前已经通过欧拉的早期工作，硬生生手工算出了前200个P（n）值。
毅力也是够强的。
拉马努金和哈代首先要做的就是验证拉马努金给出的公式的准确程度，正好把麦克马洪的数据拿来用。
结果相当振奋人心，近似程度很好。
可怜的麦克马洪，简直被降维打击。
打个比方，之前他是通过1000001个29相加来计算29+29+29+…，得到了结果29000029。
现在拉马努金和哈代直接乘法去计算29×1000001。
不过具体的过程肯定比较复杂，用到了大量近代数学成果。
数论这东西有些人觉得很枯燥，但喜欢的人是真喜欢，爱到骨子里。
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比如剑桥大学每年约招收20名印度学生，在英国差不多有1000多个印度学生散于各个学院。
这些人大部分是高种姓，最起码也是吠舍（第三种姓）。
婆罗门在印度是最高的种姓，主要是神职人员，差不多占5%左右的人口。
第二种姓刹帝利最少，只有3%左右，这些人的生活条件才是真的优渥。
学生中还有相当一部分来自第三种姓吠舍，——甘地也是吠舍。
拉马努金虽然是婆罗门这个最高种姓，不过他家没多少钱，至少是没钱留学。
去年哈代收到拉马努金的信后，很希望把拉马努金搞到剑桥，于是给印度的官员写信，同时转达了拉马努金的信。
结果印度负责留学生事务的文官看后很不高兴，给哈代回信说：“最近的来信让我很吃惊，看来诸位在拉马努金赴英费用来源尚无确实把握前就鼓励拉马努金成行。我见过太过这样的情况，印度学生来到英国以后没有足够的钱，得到的只有失望与不幸。”
后来哈代都准备自己与李特尔伍德凑钱了，但他们两个搞纯数学也拿不出多少，至多每年50英镑，对于留学来说远远不够。好在拉马努金最后总算争取到了一个奖学金项目。
印度和中国还是不一样的，中国人太重视教育了，早在晚清时期就极力推动留学，而且相当一部分都是公费留学。
但印度是个无主权国家，自己能决定的事情太少，仰仗殖民者施舍。
剑桥里的印度学生很容易辨认，李谕甚至感受到了种姓制度对印度人巨大的制约。
在餐厅时，李谕多留意了一下，发现印度学生本来就不多，也基本不扎堆，或者说是扎小堆，——按照种姓聚集。
还要说明的是，其实每个种姓又细分了好多小种姓，简直把印度社会生生分裂了开。
同一个大种姓里，大家可以坐在一起吃饭，但跨越了种姓，基本上很少会这样。
对于李谕这种穿越者来说，非常难以理解，更何况自己还是来自中国，应该是唯一一个最纯粹干掉了所谓贵族阶层的国度。
以前有中国商人去印度做生意，午餐时，中国商人把印度司机叫上了餐桌，结果其他印度人都傻了。
那个司机感激涕零，说这是第一次和如此尊贵的人坐在一起吃饭。
因为在印度看来，外国人基本属于高种姓。
而真正的印度高种姓，甚至不屑于与低种姓共用自来水管。
李谕坐在了拉马努金对面，看到他吃的素食非常简单，面包、扁豆和一杯牛奶。
“这样吃会不会容易饥饿？”李谕问道。
拉马努金并没有回答李谕的问题，反而四处张望了一下，诧异道：“中国人也爱聊天？”
李谕被问得莫名其妙：“这有什么好疑惑的？”
拉马努金说：“来到国外后，我发现这里的人全都保持矜持或者冷漠，到了令人恼怒的地步，常常拒人于千里之外，我们每个印度学生都难以接受。”
“或许是文化不同导致，英国人要保持自己所谓的绅士风度。当然，不排除有一些是高高在上的民族偏见，”李谕说，然后问了一个心中疑惑已久的问题，“哈代先生说，你的公式都是梦中女神告诉你的，那是个怎样的女神？”
拉马努金说：“是我的信仰，娜玛吉利女神。”
李谕压根没听过这个女神的名字，对婆罗门教或者说印度教的理解，就是梵天、湿婆和毗湿奴这三位主神。
最多加一个传说中孙悟空的原型——印度猴神哈奴曼。（也不知道这个说法可不可靠，不少自媒体这么说过。毕竟大圣不缺流量。）
李谕问道：“这位娜玛吉利女神是？”
拉马努金说：“她是那罗希摩的配偶，那罗希摩也叫狮神，是毗湿奴的化身之一。”
总算提到一个自己听过的神。
李谕说：“感觉与中国的道教很像，都有好多神仙。”
拉马努金语出惊人：“对于我来说，所有的宗教或多或少都一样是真的，不管基督教还是佛教。”
李谕非常错愕，更加无法理解印度的宗教观。
拉马努金又问道：“院士先生也有信仰嘛？”
李谕摇摇头：“我是无神论者。”
拉马努金说：“太可惜了，如果你也有信仰，说不定会获得神的指示。”
李谕笑道：“可能我已经不需要了。”
拉马努金说：“娜玛吉利女神给予了我无穷帮助，本来按照教义，我不能离开印度，但女神托梦告诉我可以离开，所以我才登上了前往伦敦的轮船。”
李谕没敢多问，这时候印度人确实不能随便离开印度国土，除非有某种理由。
甘地就是因为离开印度，被开除了种姓。
但婆罗门本身就是神职人员，可以解释宗教，所以……
李谕笑道：“上天安排的最大，女神也要你来伦敦。”
拉马努金说：“但我的家人朋友并不同意，岳父就问过我，为什么不能在印度学数学。我和他解释了半天，他始终无法理解。我朋友也认为这是把本属于印度的光荣偷送给英国大学的一种卑鄙手腕。而我的母亲则担心我适应不了英国的天气，担心这边没有好的印度食品，还害怕英国人的歧视，甚至担心我被英国女孩子缠住，不再回国。”
李谕看过《生活大爆炸》，知道印度人的婚恋观非常传统，在硅谷混得风生水起的人，也得回国结婚，而且必须报上种姓，如果是低种姓，哪怕你在硅谷再牛，也得蹲着。
在拉马努金离开印度之前，有些英国妇女来见这位即将去剑桥的神秘天才，和他握了手，就使他的母亲大为生气。
李谕摊摊手：“既然来了，就先搞好你想做的呗。”
拉马努金说：“我就是这样想的，院士先生的事迹非常令我振奋。”
李谕笑道：“彼此彼此。”
拉马努金几口吃完了饭，说：“是的，我们去找哈代先生，今天要讨论一个关键的议题。”
李谕又问道：“真的只吃这么点？”
拉马努金说：“母亲的担心不无道理，英国的食材太缺少了。”
拉马努金对食物很挑剔。
和平年代还好，半年后一战爆发，英国物资供应出现短缺，面包都要限量供应，哪去找更多蔬菜。
拉马努金那时正好是科研攻坚期，吃饭很随意，休息更随意，这种状态最容易生病。
关键拉马努金在医院里也不听话，老抱怨这里疼那里痛，甚至有些任性，不相信医药。
许多伦敦的医生都说：“极少有医生愿意把拉马努金带到自己的医务所，没人能受得了他的脾气。”
总之是各种因素导致了他的生病。
后世要是秉承素食主义其实影响不大，但二十世纪初这种医学刚刚起步的时代，素食还是有些风险的。
拉马努金的早逝很可能就是免疫力下降，染上了肺结核。
之前提到过，全球三分之一的人口感染有肺结核，但人体的免疫力让90%的人不会发病，但一旦免疫力大幅下降，就有危险。
一些微量元素素食难以提供或者提供的数量很少，比如维生素D。或许就是它的缺少导致拉马努金感染上肺结核。
可惜维生素的作用还要几年后才能被慢慢证实。
另外，英国和印度的生活相比，至少还缺少一样东西——阳光。
阳光可以帮助人体合成维生素D。但英国的天气，能晒太阳的机会太少，加上他常年在屋中搞研究，日积月累，身体早晚垮掉。
路上时，拉马努金又好奇问道：“院士先生同样来自东方，离开了故土，你不会想念家乡吗？”
李谕说：“事实上，我经常回国。”
“太羡慕了！”拉马努金说，“才离开印度几个月，我已非常想念家乡。那里的街道上处处是牛车，彩绘的牛角上铃声叮当，男人裸着上身，包着围腰布，女人穿着莎丽，鼻环和手镯在黝黑的皮肤上闪亮。”
听拉马努金的叙述，他好像生活在乡村。
这位天才在英国的几年生活相当孤独，朋友极少，只能与数学为伴。
李谕说：“我能理解你的心情。”
两人走进哈代的办公室，他正在一张小黑板上写写画画，见拉马努金来了，于是说：
“我已经想好，如果你想让整个英国数学界知道你的名字，可以选择整数分拆这个课题。旁边办公室专门做组合数学的麦克马洪教授已经为此花了十几年，还没有摸出头绪，但你的公式却有完美的近似效果。我们花上一段时间，给出更专业的数学证明，他绝对会惊掉下巴。”
拉马努金说：“要是能发表论文，我一定配合先生的工作。”
哈代抽了口烟斗说：“我知道你有很多东西想发表，但我们必须一点点来，做出取舍。整数分拆这种难度极大的成果做出来后，我说不定还可以帮你申请到研究员的职位，那样我们的时间就更多了。”
拉马努金说：“我明白了，谢谢哈代教授。”
两人搞的整数分拆属于数论领域，非常好理解，小学生都可以看懂。
所谓整数分拆，就是把一个正整数表示成几种不同的加法组合。
比如数字3，有3，1+1+1，1+2三种组合方式。
数字4，有1+1+1+1，1+1+2，1+3，2+2，4，一共五种拆分方式。
然后假设有一个函数p（n），表示的就是某个数字n一共有多少种拆分方式。
显然，
P（3）
P（4）
拉马努金和哈代要搞的，就是找到这个整数分拆函数p（n）表达式。
听起来是不是感觉和费马大定理、哥德巴赫猜想一样简单好理解？
但想要得到函数P（n），就相当难了。
因为这个函数的发散速度非常恐怖，别看前几项很小，人畜无害，到了p（50），就达到了204226。
而p（100），大概是2亿！
明显的指数增长。
最早研究整数分拆的是数学真神欧拉，但他没能搞定。
拉马努金不知道咋就写出了一个p（n）近似公式，关键这玩意在n越大的时候，就越准，很难说是随便凑出来的。
李特尔伍德把一大堆材料放在桌子上：“这是麦克马洪教授的推算结果，我们可以慢慢进行验证。”
然后他又对拉马努金说：“我真的很想知道你是如何得到这个诡异结果的，但我知道你肯定会说是女神的指示，就像法国的圣女贞德说，‘我把自己锁在小阁楼里一天一夜，上帝告诉我，我要成为天国的将军，率领法国军队赶走英国人’。”
哈代道：“这就是神秘的东方力量。”
“确实太神秘了，”李特尔伍德说，“按照通常的数学逻辑，一旦我们事先知道结果，可以花费时间慢慢找到函数的正确形式。但关键是，拉马努金怎么知道一定会有一个正确形式？甚至给出了一个很不错的公式！如果以理论洞察力来解释，其能力之高实难相信！因为对于整数分拆函数来说，没有什么数值结果能向他暗示如此强有力的结论。我只能说是神来之笔。”
哈代哈哈大笑：“我已经放弃思考这个问题了！不如继续验证下去。”
整数分拆函数的发散非常快，而麦克马洪教授此前已经通过欧拉的早期工作，硬生生手工算出了前200个P（n）值。
毅力也是够强的。
拉马努金和哈代首先要做的就是验证拉马努金给出的公式的准确程度，正好把麦克马洪的数据拿来用。
结果相当振奋人心，近似程度很好。
可怜的麦克马洪，简直被降维打击。
打个比方，之前他是通过1000001个29相加来计算29+29+29+…，得到了结果29000029。
现在拉马努金和哈代直接乘法去计算29×1000001。
不过具体的过程肯定比较复杂，用到了大量近代数学成果。
数论这东西有些人觉得很枯燥，但喜欢的人是真喜欢，爱到骨子里。
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